圆型限制性三体问题（CR3BP）：平衡点、雅可比常数与零速度面

#0830 笔记

本文承接《圆型限制性三体问题》前 11 节。此前已经建立 CR3BP 的旋转坐标系、无量纲运动方程和伪势函数。本篇从伪势函数出发，继续讨论五个拉格朗日点、雅可比常数以及零速度曲线／零速度面。

沿用此前的定义：两个主天体分别位于

P_{1} = (- μ, 0, 0), P_{2} = (1 - μ, 0, 0),

第三体的位置为

ρ = {[\begin{matrix} x & y & z \end{matrix}]}^{T},

它到两个主天体的距离分别是

d = \sqrt{(x + μ)^{2} + y^{2} + z^{2}},

r = \sqrt{(x - 1 + μ)^{2} + y^{2} + z^{2}} .

无量纲伪势函数为

Ω (x, y, z) = \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) + \frac{1 - μ}{d} + \frac{μ}{r}

运动方程可以写成

\ddot{x} - 2 \dot{y} = Ω_{x},

\ddot{y} + 2 \dot{x} = Ω_{y},

\ddot{z} = Ω_{z},

其中下标表示偏导数，例如

Ω_{x} = \frac{\partial Ω}{\partial x} .

$\Upsilon$ $\Omega$ $\Upsilon$ $\Omega$ 。

12. CR3BP 的平衡解

12.1 “平衡”是相对于旋转坐标系静止

平衡点指第三体在旋转坐标系中保持固定位置。因此它在旋转系中的速度和加速度均为零：

\dot{x} = \dot{y} = \dot{z} = 0,

\ddot{x} = \ddot{y} = \ddot{z} = 0.

代入运动方程可得

Ω_{x} = Ω_{y} = Ω_{z} = 0

或写成向量形式：

\nabla Ω = 0

这意味着平衡点是伪势函数的驻点。

此时科里奥利项也自动消失，因为科里奥利效应依赖旋转系相对速度：

a_{cor} = - 2 ω \times v_{R} .

$\boldsymbol v_R=\boldsymbol 0$ $\boldsymbol a_{\mathrm{cor}}=\boldsymbol 0$ 。所以平衡点处真正参与平衡的是：

两个主天体的引力加速度 + 离心加速度 = 0

这里的“静止”只对旋转观察者成立。在惯性坐标系中，平衡点仍然和两个主天体一起绕质心旋转。

可以把它想象成旋转木马上的一个固定标记：坐在木马上的人认为它没有移动；站在地面上的人却看到它持续绕圆运动。

$xy$ 平面

$z$ 方向偏导数为

Ω_{z} = - \frac{(1 - μ) z}{d^{3}} - \frac{μ z}{r^{3}} .

$z$ ：

Ω_{z} = - z (\frac{1 - μ}{d^{3}} + \frac{μ}{r^{3}}) .

$\Omega_z=0$ 。括号中的两项均为正数，因此只有

z = 0

才能满足条件。

所以 CR3BP 的所有平衡点都位于两个主天体的轨道平面内。

12.3 五个拉格朗日点的总体分布

CR3BP 共有五个平衡点，也叫拉格朗日点或平动点（libration points）：


xxxxxxxxxx
                              L4
                              ●
                             / \
                            /   \
          L3        P1    L1     P2        L2
          ●---------●-----●------●---------●------→ x
                            \   /
                             \ /
                              ●
                              L5

$L_1$ 位于两个主天体之间；
$L_2$ $P_2$ 的外侧；
$L_3$ $P_1$ 的另一侧；
$L_4,L_5$ 与两个主天体构成等边三角形。

$L_1,L_2,L_3$ $L_4,L_5$ 是等边三角形点，可以直接得到解析坐标。

$\nabla\Omega=\boldsymbol 0$ 只说明物体精确位于该点且相对速度为零时，瞬时合加速度为零。稍微偏离后是返回还是继续远离，需要另外研究平衡点附近的线性化动力学。

$L_1,L_2,L_3$

13.1 共线点的标量方程

$x$ 轴，所以

y = z = 0.

$\Omega_y=\Omega_z=0$ 自动成立，只需解

Ω_{x} = 0.

由此前的伪势梯度可得

f (x) = Ω_{x} = x - \frac{(1 - μ) (x + μ)}{| x + μ |^{3}} - \frac{μ (x - 1 + μ)}{| x - 1 + μ |^{3}} = 0

绝对值不能随意忽略，因为三个点位于不同区间：

平衡点	所在区间
$L_3$	$x<-\mu$
$L_1$	$-\mu<x<1-\mu$
$L_2$	$x>1-\mu$

$L_1$ 位于两个主天体之间，所以

x + μ > 0, x - 1 + μ < 0.

$(x+\mu)^3$ $(x-1+\mu)^3$ 而不检查所在区间，很容易得到错误方程。

$\gamma_i$ 表示到最近主天体的距离

$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ 表示共线点到最近主天体的距离。

$L_1$ 点

$L_1$ $P_2$ $\gamma_1$ $P_2$ $L_1$ 的距离，则

x_{L_{1}} = 1 - μ - γ_{1} .

$L_1$ $P_1$ $P_2$ 的距离分别为

d = 1 - γ_{1}, r = γ_{1} .

$\Omega_x=0$ 可得

1 - μ - γ_{1} = \frac{1 - μ}{(1 - γ_{1})^{2}} - \frac{μ}{γ_{1}^{2}}

$L_2$ 点

$L_2$ $P_2$ $\gamma_2$ $P_2$ $L_2$ 的距离，则

x_{L_{2}} = 1 - μ + γ_{2} .

相应距离为

d = 1 + γ_{2}, r = γ_{2} .

平衡方程为

1 - μ + γ_{2} = \frac{1 - μ}{(1 + γ_{2})^{2}} + \frac{μ}{γ_{2}^{2}}

$L_3$ 点

$L_3$ $P_1$ $\gamma_3$ $P_1$ $L_3$ 的距离，则

x_{L_{3}} = - (μ + γ_{3}) .

平衡方程为

μ + γ_{3} = \frac{1 - μ}{γ_{3}^{2}} + \frac{μ}{(1 + γ_{3})^{2}}

这三个方程经过整理后都会产生五次多项式。一般五次方程没有适用于任意系数的简单根式解，因此通常使用数值求根方法。

13.3 数值求根的基本想法

可以采用：

二分法；
Newton–Raphson 法；
割线法；
regula falsi，即假位法。

$g(\gamma)=0$ ，迭代形式为

γ^{(k + 1)} = γ^{(k)} - \frac{g (γ^{(k)})}{g^{'} (γ^{(k)})} .

每一步都用当前点处的切线近似函数，再用切线与横轴的交点作为下一次猜测。

这里最重要的不是背下迭代公式，而是先用几何位置确定正确区间。否则数值算法可能收敛到另一个平衡点，或者跨过主天体位置处的奇点。

13.4 地球—月球系统的共线点

地球—月球系统的质量参数约为

μ \approx 0.01215 .

论文给出的无量纲结果为：

量	$L_1$	$L_2$	$L_3$
$\gamma_i$	$0.1509342$	$0.1678327$	$0.9929121$
$x_{L_i}$	$0.8369152$	$1.1556821$	$-1.0050626$

其中：

$\gamma_1$ $L_1$ 到月球的距离；
$\gamma_2$ $L_2$ 到月球的距离；
$\gamma_3$ $L_3$ 到地球的距离；
$x_{L_i}$ 则是相对于地月质心的坐标。

$\gamma_i$ $x_{L_i}$ 不能混为一谈。

若取地月特征长度

l^{*} \approx 3.8439 \times 10^{5} km,

$L_1$ 到月球的距离约为

γ_{1} l^{*} \approx 0.1509342 \times 3.8439 \times 10^{5} \approx 5.80 \times 10^{4} km .

$L_4,L_5$

$y$ 方向平衡条件出发

$L_4,L_5$ ，有

y \neq 0.

$y$ 方向平衡条件为

Ω_{y} = y - \frac{(1 - μ) y}{d^{3}} - \frac{μ y}{r^{3}} = 0.

$y\ne0$ $y$ ：

1 - \frac{1 - μ}{d^{3}} - \frac{μ}{r^{3}} = 0.

$x$ 方向平衡条件联立，可以得到

d = r = 1 .

$L_4$ $L_5$ 到两个主天体的距离，都等于两个主天体之间的距离。

$P_1,P_2,L_4$ $P_1,P_2,L_5$ 分别构成等边三角形。

$L_4,L_5$ 的解析坐标

两个主天体之间的中点坐标为

x_{mid} = \frac{- μ + (1 - μ)}{2} = \frac{1}{2} - μ .

单位边长等边三角形的高度是

\frac{\sqrt{3}}{2} .

所以

x_{L_{4, 5}} = \frac{1}{2} - μ

以及

y_{L_{4, 5}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

即

L_{4} = (\frac{1}{2} - μ, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0),

L_{5} = (\frac{1}{2} - μ, - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) .

$L_5$ 是 trailing point，即拖后点。

对于地球—月球系统：

x_{L_{4}} = x_{L_{5}} \approx 0.4878494,

y_{L_{4}} \approx 0.8660254, y_{L_{5}} \approx - 0.8660254 .

$y$ $\mu$ $l^*$ 。

15. 雅可比积分

积分常数可以降低动力系统中相互独立的状态维数，并帮助判断轨迹的总体行为。CR3BP 在旋转坐标系中存在一个非常重要的守恒量：雅可比常数。

15.1 将运动方程分别与速度相乘

三条运动方程为

\ddot{x} - 2 \dot{y} = Ω_{x},

\ddot{y} + 2 \dot{x} = Ω_{y},

\ddot{z} = Ω_{z} .

$\dot x,\dot y,\dot z$ 并相加：

(\ddot{x} - 2 \dot{y}) \dot{x} + (\ddot{y} + 2 \dot{x}) \dot{y} + \ddot{z} \dot{z} = Ω_{x} \dot{x} + Ω_{y} \dot{y} + Ω_{z} \dot{z} .

展开左边：

\ddot{x} \dot{x} - 2 \dot{x} \dot{y} + \ddot{y} \dot{y} + 2 \dot{x} \dot{y} + \ddot{z} \dot{z} .

两个科里奥利交叉项恰好抵消：

- 2 \dot{x} \dot{y} + 2 \dot{x} \dot{y} = 0.

因此

\ddot{x} \dot{x} + \ddot{y} \dot{y} + \ddot{z} \dot{z} = Ω_{x} \dot{x} + Ω_{y} \dot{y} + Ω_{z} \dot{z} .

科里奥利项能够抵消并不是巧合。科里奥利加速度始终垂直于旋转系速度，所以它不直接改变速度大小：

v_{R} \cdot a_{cor} = 0.

15.2 把两边识别成全导数

左边是速度平方的一半对时间的导数：

\ddot{x} \dot{x} + \ddot{y} \dot{y} + \ddot{z} \dot{z} = \frac{d}{d τ} [\frac{1}{2} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2})] .

右边根据多元函数链式法则为

\frac{d Ω}{d τ} = Ω_{x} \dot{x} + Ω_{y} \dot{y} + Ω_{z} \dot{z} .

所以

\frac{d}{d τ} [\frac{1}{2} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - Ω] = 0.

$-C/2$ ：

\frac{1}{2} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) = Ω - \frac{C}{2} .

定义旋转坐标系中的速度大小

v = \sqrt{{\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}},

得到雅可比积分：

v^{2} = 2 Ω - C

以及雅可比常数：

C = 2 Ω - v^{2}

15.3 雅可比常数与普通机械能的区别

$C$ 很像能量守恒式，因为它把位置项和速度项联系在一起。但它不是惯性坐标系中通常所说的机械能：

$v$ 是相对于旋转坐标系的速度；
$\Omega$ 混合了真实引力和虚拟离心效应；
$C$ 的速度项带负号；
$C$ 的定义依赖 CR3BP 的无量纲化和旋转坐标系。

比较安全的表述是：

雅可比常数是 CR3BP 在旋转坐标系中的一个能量型守恒量。

$C$ 应当始终不变。因此在计算机数值积分中，可以沿轨迹重复计算

C (τ) = 2 Ω (τ) - v^{2} (τ) .

$C(\tau)$ 出现明显的系统性漂移，可能意味着：

积分步长过大；
数值积分器精度不足；
运动方程或坐标转换实现有误；
$C$ 不再严格守恒。

15.4 平衡点处的雅可比常数

平衡点在旋转系中的速度为零，因此

v = 0.

每个拉格朗日点对应的临界雅可比常数是

C_{L_{i}} = 2 Ω (L_{i})

地球—月球系统的数值约为：

平衡点	临界雅可比常数
$L_1$	$3.188341$
$L_2$	$3.172160$
$L_3$	$3.012147$
$L_4,L_5$	$2.987997$

$L_4$ $L_5$ $x$ $\Omega$ $y$ $y^2$ 和距离出现。

16. 零速度曲线与零速度面

16.1 从“速度平方不能为负”出发

雅可比积分给出

v^{2} = 2 Ω - C .

真实速度必须是实数，因此

v^{2} \geq 0.

$C$ 后，允许的位置必须满足

2 Ω (x, y, z) - C \geq 0

空间因此被分成三类：

条件	含义
$2\Omega-C>0$	允许区域，可以存在实数速度
$2\Omega-C=0$	零速度边界，此处所需速度为零
$2\Omega-C<0$	$v^2<0$

禁区不是由一堵真实的墙围成，也不是那里存在无限大的斥力。它表示：在保持同一个雅可比常数的前提下，该位置所要求的速度平方为负数，因此不可能被真实轨迹访问。

16.2 零速度面和零速度曲线

$v=0$ ，有

C = 2 Ω .

展开后：

C = x^{2} + y^{2} + \frac{2 (1 - μ)}{d} + \frac{2 μ}{r}

在三维位置空间中，这个方程定义一个曲面，称为零速度面（zero-velocity surface）。

$z=0$ $xy$ 平面的交线，称为零速度曲线（zero-velocity curve）。

“零速度”描述的是边界上由雅可比积分推得的瞬时速度大小，并不意味着黑色曲线本身是一条航天器轨道。

$C$ 会扩大允许区域

允许条件是

2 Ω \geq C .

$C$ 降低，这个不等式会在更多位置成立。因此一般有

C 降低 ⟹ 允许区域扩大、禁区收缩

$C$ $C$ ”理解为“较高的可用能量水平”。

16.4 拉格朗日点为什么成为通道

在拉格朗日点处

\nabla Ω = 0,

并且临界值满足

C_{L_{i}} = 2 Ω (L_{i}) .

$C$ $C_{L_i}$ 时，零速度边界恰好在相应拉格朗日点处发生拓扑变化：

$C>C_{L_i}$ 时，通道关闭；
$C=C_{L_i}$ $L_i$ 处刚好接触；
$C<C_{L_i}$ $C$ 继续下降而变宽。

可以把它类比成山口：山口不是整个地形中最低的点，却是从一个山谷通往另一个山谷时最先可以翻越的位置。拉格朗日点在零速度边界中扮演类似“鞍口”的角色。

16.5 Hénon 对称系统中通道打开的顺序

Hénon 系统取

μ = 0.5,

$y$ 轴对称。其临界值约为

C_{L_{1}} = 4.0,

C_{L_{2}} = C_{L_{3}} = 3.456796,

C_{L_{4}} = C_{L_{5}} = 2.75 .

$C$ 下降：

$C>4.0$ 时，两个主天体附近的允许区域彼此隔离；
$3.456796<C<4.0$ $L_1$ 通道打开，两个主天体附近可以互通；
$2.75<C<3.456796$ $L_2,L_3$ 附近的通道也打开，内部区域可以与外部连通；
$C<2.75$ $xy$ 平面中消失。

图 2.4 取

C = 3.75 .

因为

C_{L_{2}, L_{3}} < 3.75 < C_{L_{1}},

所以此时：

$L_1$ 通道已经打开；
两个主天体附近的内部允许区域连成花生形；
$L_2,L_3$ 外部通道仍然关闭；
内部允许区域与远处外部允许区域仍被禁区隔开。

$C$ $L_1,L_2,L_3$ 附近的通道如何依次打开。

16.6 地球—月球系统中的不对称性

地球—月球系统的

μ \approx 0.01215

$0.5$ 。因此地球占据绝大部分质量，质心靠近地球，整个伪势结构也不再左右对称。

地月系统中：

$L_1,L_2$ 都位于月球附近；
$C_{L_1}\ne C_{L_2}\ne C_{L_3}$ ；
$C$ 值下依次打开；
地球一侧的允许区域比 Hénon 对称系统中更加占主导地位。

$C$ $L_1\quad\longrightarrow\quad L_2\quad\longrightarrow\quad L_3\quad\longrightarrow\quad L_4,L_5.$

16.7 三维零速度面的含义

$z=0$ 平面上的切片。

在三维图像中，二维的“开口”变成具有有限横截面的颈部或隧道。例如：

$L_1$ 通道允许两个主天体附近的三维区域相互连接；
$L_2,L_3$ 通道允许内部区域与外部空间连接；
$x,y,z$ 三个方向上的宽度可以不同；
$C$ 降低，通道通常逐渐变宽。

但是零速度面只回答：

$C$ ，某个位置在能量条件上是否可能访问？

它并不直接回答：

从当前给定的初始位置和速度出发，是否真的存在一条轨道到达那里？

允许区域只是必要条件，不是充分条件。真实转移轨道还取决于完整运动方程、初始状态、稳定与不稳定流形等动力学结构。

17. 概念梳理

伪势的二次项对应离心效应，不对应科里奥利效应

\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})

是离心效应对应的伪势项。

科里奥利效应依赖速度，保留在

- 2 \dot{y}, 2 \dot{x}

两个交叉速度项中，不能由只依赖位置的标量势产生。

拉格朗日点在旋转系静止，不是在惯性系静止

精确位于拉格朗日点的物体与两个主天体保持固定的相对几何位置，但三者仍共同绕质心旋转。

平衡不等于稳定

\nabla Ω = 0

只给出平衡条件。稳定性需要研究小扰动在时间中是衰减、保持有界还是增长。

零速度曲线不是轨道

$2\Omega=C$ 的等值线，是允许区域与禁区的边界。航天器一般不会沿着这条线运动。

允许访问不等于一定能够到达

$2\Omega-C\ge0$ 只说明该位置不会要求虚数速度。它没有保证某个具体初始条件一定能到达该位置。

$C$ 越小，可达区域通常越大

$C=2\Omega-v^2,$ $C$ 。

18. 本篇涉及的符号术语表

符号	含义
$L_1,L_2,L_3$	$x$ 轴上的三个共线拉格朗日点
$L_4,L_5$	与两个主天体构成等边三角形的拉格朗日点
$\gamma_1$	$L_1$ $P_2$ 的无量纲距离
$\gamma_2$	$L_2$ $P_2$ 的无量纲距离
$\gamma_3$	$L_3$ $P_1$ 的无量纲距离
$v$	第三体相对于旋转坐标系的速度大小
$C$	雅可比常数
$C_{L_i}$	$i$ 个拉格朗日点对应的临界雅可比常数
$2\Omega-C>0$	允许区域，存在实数速度
$2\Omega-C=0$	零速度边界
$2\Omega-C<0$	$v^2<0$
zero-velocity curve	$xy$ 平面的交线
zero-velocity surface	三维位置空间中的零速度边界

19. 本篇总结

从前一篇笔记的伪势函数出发，CR3BP 的平衡条件是

\nabla Ω = 0

$L_1,L_2,L_3$ $L_4,L_5$ 。

将三条运动方程分别与速度相乘后，科里奥利交叉项抵消，得到雅可比积分：

C = 2 Ω - v^{2}

$C$ 后的允许区域满足

2 Ω - C \geq 0

其边界

2 Ω = C

$C$ 降低，允许区域扩大，零速度边界会依次在拉格朗日点附近打开通道。

可以把本篇的核心逻辑压缩成：

伪势函数 ⟶ 拉格朗日点 ⟶ 雅可比常数 ⟶ 零速度边界与可达区域

$\Omega$ $C$ 把位置与速度约束在同一个守恒关系中，而零速度面把这种约束变成可以直接观察的几何边界。